Projektbeschreibung

In vielen Anwendungen der nichtlinearen Systemdynamik liegen Modellkomponenten vor, die sich stark in ihrem dynamischen Verhalten unterscheiden [1]. Das Gesamtsystem kann dabei oft a-priori in Blöcke aufgeteilt werden, die durch schnelle Zeitraten (,,aktive Blöcke''), und Blöcke, die durch langsame Zeitraten (,,latente Blöcke'') gekennzeichnet sind. Da in einem monolithischen numerischen Integrationsansatz das schnellste System - neben der Steifheit - die zu wählende (sehr kleine) Schrittweite festlegt, werden die langsamen Blöcke unnötigerweise viel zu oft ausgewertet. Die numerische Integration wird damit ineffizient und in vielen größeren Anwendungen mit stark unterschiedlichen Dynamiken sogar undurchführbar.

Multirate-Verfahren können hier einen Ausweg bieten [2]. Diese Verfahren verwenden für jedes Teilsystem eine diesem adäquate Zeitschrittweite. Eine Schwierigkeit derartiger Verfahren besteht in der geeigneten Auswertung der jeweiligen Kopplungsvariablen, die nun auf einer anderen Zeitskala (langsam oder schnell) benötigt werden.

Arbeitspaket 3.1: Entwicklung von Multirate-Verfahren mit Modellreduktion. Eine Idee zur Effizienzsteigerung von Multirate-Verfahren liegt darin, die Kopplungsvariablen mit Hilfe eines reduzierten Modells auszuwerten. In einem Slowest-First-Ansatz kann dies wie folgt geschehen. Zuerst werden die langsamen Blöcke, die in der Regel die größten Teilsysteme darstellen, in einem relativ langen Zeitfenster mit einer Makroschrittweite berechnet. Dabei kann die Auswertung der schnellen Blöcke mittels Extrapolation erfolgen. Gleichzeitig wird auf Basis der numerischen Simulation ein reduziertes Modell für die langsamen Blöcke erstellt. Danach werden die schnellen Blöcke in diesem Zeitfenster mit Mikroschrittweiten berechnet, wobei die Auswertung der langsamen Kopplungsvariablen durch das im Makroschritt entwickelte reduzierte Modell erfolgt. Durch Kopplung von Fehlerschätzern für die reduzierten Modelle und den Integrationsfehler wird die Wahl optimaler reduzierter Modelle mit der optimalen Wahl der Makroschrittweiten verbunden. Die benötigten Fehlerschätzer bzw. Fehlerschranken für die reduzierten Systeme liegen aus AP1.1 von TP1 vor oder werden in Kooperation mit TP1 erarbeitet.

Arbeitspaket 3.2: Stabilitäts- und Konvergenzanalyse. Nach der Entwicklung entsprechender Multirate-Ansätze und Fehlerschätzer, die den Integrationsfehler mit dem Interpolationsfehler durch reduzierte Modelle verbindet, sind diese Verfahren im Hinblick auf Stabilität und Konvergenz zu untersuchen. In Zusammenarbeit mit TP2 soll die Stabilitätsanalyse der gekoppelten Teilsysteme in Analogie zu den dortigen Ansätzen erfolgen.

Arbeitspaket 3.3: Verallgemeinerung des Ansatzes und Validierung. Es sind Alternativansätze und Verallgemeinerungen des obigen Ansatzes zu untersuchen: a) Entwicklung von reduzierten Modellen für die schnellen Blöcke im Makroschritt; b) Fastest-first-Ansatz statt Slowest-first; c) parametrisierte Modellreduktionsverfahren, die das Wiederverwenden reduzierter Modelle erleichtern helfen. Die in diesem Teilprojekt entwickelten und untersuchten Multirate-Verfahren sind an den Benchmarks der Industriepartner zu validieren.

Literatur

[1]

M. Günther, U. Feldmann, and E.J.W. ter Maten. Modeling and discretization of circuit problems. In W.H.A. Schilders and E.J.W. ter Maten, editors, Handbook of Numerical Analysis. Special Volume Numerical Analysis of Electromagnetism, pages 523-659. Elsevier North Holland, Amsterdam, 2005.

[2]

E.J.W. ter Maten and M. Günther. Multirate time integration for multiscaled systems. In A.D. Fitt, J. Norbury, H. Ockendon, and E. Wilson, editors, Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2008, volume 15 of Mathematics in Industry, pages 317-318. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2010.