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Zur Berechnung reduzierter Modelle für gekoppelte Systeme existieren im wesentlichen zwei Ansätze: die Reduktion des Gesamtsystems mit einer passenden Methode (monolithische Modellreduktion) und die Approximation einzelner Teilsysteme durch reduzierte Modelle, welche dann zu einem reduzierten Gesamtmodell zusammengefügt werden (modulare Modellreduktion). Der erste Ansatz stößt aber für stark heterogene Systeme an seine Grenzen, da hierbei Multiphysik-Effekte und unterschiedliche Systemeigenschaften berücksichtigt werden müssen. Der zweite Ansatz ist für solche Systeme besser geeignet, da einzelne Teilsysteme mit optimal gewählten Reduktionsverfahren approximiert werden können. Darüber hinaus bleibt die Kopplungsstruktur im reduzierten Modell erhalten, was bei der hierarchischen Modellbildung von großer Bedeutung ist.
In diesem Teilprojekt soll die Anwendung beider Modellreduktionsansätze zur schnellen Simulation gekoppelter PDAE-Systeme umfassend untersucht werden. Neben den theoretischen Untersuchungen sollen die entwickelten modellreduktionsbasierten Simulationstechniken implementiert werden. Zur Validierung und zum Testen soll unter anderem auf Anwendungsbeispiele der Industriepartner aus dem Gebiet elektromagnetischer Halbleiterstrukturen zurückgegriffen werden.
Das Arbeitsprogramm beinhaltet die folgenden Schritte:
Arbeitspaket 1.1: Fehlerschranken für reduzierte gekoppelte nichtlineare Systeme. Bei der modularen Modellreduktion ist es von besonderem Interesse, die Auswirkung der Reduktion einzelner Teilsysteme auf die Approximationsgüte des reduzierten Gesamtsystems zu untersuchen. Hierbei soll insbesondere analysiert werden, inwieweit sich die Fehlerschranken für gekoppelte lineare Systeme [4] und die Techniken aus [1,2] zur Abschätzung des Approximationsfehlers von POD-reduzierten Modellen auf gekoppelte nichtlineare DAE-Systeme übertragen lassen. Die somit gewonnenen Fehlerabschätzungen können dann in der Konvergenzanalyse von modellreduktionsbasierten Co-Simulationsverfahren für gekoppelte Systeme und im TP3 entwickelten Multirate-Methoden verwendet werden.
Arbeitspaket 1.2: Kombination der Modellreduktion mit modularer Zeitintegration. Ein weiterer Aspekt ist die Kombination der modularen Modellreduktion mit der modularen Zeitintegration für die Simulation gekoppelter Systeme. Dabei werden hochdimensionale Teilsysteme zunächst mit reduzierten Modellen ersetzt und das entstehende reduzierte gekoppelte System wird dann mittels modularer Zeitintegrationsverfahren gelöst. Dieses modulare Vorgehen ermöglicht die Anwendung nicht nur unterschiedlicher Approximationsverfahren sondern auch verschiedener Integratoren auf jeweilige Teilsysteme. Hierbei soll der Einfluss der Reduktion einzelner Teilsysteme auf die Stabilitäts- und Konvergenzeigenschaften der Integrationsverfahren in enger Zusammenarbeit mit TP2 analysiert werden. Weiterhin soll die optimale Wahl der Kommunikationsschrittweiten bei dem Datenaustausch zwischen den Komponenten des gekoppelten Differentialgleichungssystems untersucht werden. Dies umfasst eine Analyse sowohl der Diskretisierungsfehler als auch der Modellreduktionsfehler und erfordert die Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Kommunikationsschrittweitensteuerung und den Schrittweitensteuerungen einzelner Teilsysteme. Anschließend soll der modulare modellreduktionsbasierte Simulationsansatz bezüglich der Genauigkeit und Rechenzeit mit einer monolithischen Lösung gekoppelter reduzierter Systeme verglichen werden.
Arbeitspaket 1.3: Dynamische Iteration und Modellreduktion. In diesem Arbeitspaket wird der von Rathiham und Petzold [3] vorgeschlagene DIMR-Ansatz im Hinblick auf eine Anwendung auf gekoppelte nichtlineare PDAE-Systeme untersucht. Dieser Ansatz basiert auf dynamischer Iteration und besteht in der iterativen monolithischen Lösung von den jeweiligen nichtreduzierten Teilsystemen gekoppelt mit den restlichen reduzierten Teilsystemen. Auch hier sind Stabilitätsbedingungen und Konvergenzkriterien zu analysieren.